Stereometrie - Winkel im Raum

In der Stereometrie berechnen wir unter anderem Winkel zwischen Geraden, zwischen Ebenen und zwischen Geraden und Ebenen. Wir wollen hier die drei Fälle betrachten.

Winkel zwischen Geraden

Hier ist jeweils der spitze Winkel zwischen den beiden Geraden zu berechnen. Es kommt jeweils eine der Winkelfunktionen oder der Sinus-, respektive Cosinussatz zur Anwendung. Hier nur eine primitive Skizze.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Das Hauptproblem besteht hier im Einzeichnen des zu bestimmenden Winkels.

Im folgenden Quader ist beispielsweise der Winkel zwischen der Grundebene \(\varepsilon(ABCD)\) und der Raumdiagonalen AG zu bestimmen.

Wichtig ist, dass man von einem Geradenpunkt (hier G) das Lot auf die Ebene fällt. Damit erhält man einen Punkt (hier C) von dem man eine Gerade zum Durchstosspunkt der gegebenen Gerade und der Ebene zeichnet. Der gesuchte Winkel ist in der Skizze mit \(\alpha\) bezeichnet.

Winkel zwischen Ebenen

Vielleicht hilft das folgende Bild, um zu zeigen, um welchen Winkel es sich handelt. Wichtig sind auch hier die beiden rechten Winkel.

Jetzt wollen wir eine konkrete Aufgabe lösen.

Geometrie / 140 / 27

Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH.

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen \(\varepsilon_1(PQR)\) und \(\varepsilon_2(UVR)\), wenn gilt: P,Q,R, U und V sind die Mittelpunkte der Kanten AB, BC, CG, AD und CD.

Auch hier wird es ohne eine grosse, sauber beschriftete Skizze nicht gehen.

Es ist vor allem auch zu beachten, dass Ebenen eine unendliche Ausdehnung haben. Daher sind alle relevanten Schnittpunkte einzuzeichnen (hier vor allem auch der Punkt M).

Wenn man weiss, dass hier der Winkel \(\angle(PNU)\) zu berechnen ist, sollte man keine grösseren Probleme mehr haben. Wichtig zu wissen ist auch, dass die Winkel \(\angle(PNR)\) und \(\angle(UNR)\) rechtwinklig sind.